10Sınıf 2.dereceden denklemler dersleri, pdf ve 10.sınıf 2.dereceden denklemler ders notları ile ilgili özel ders videoları, konu anlatımları ve çözümlü sorular sayfamızda yer almaktadır. 2.Dereceden Denklemler konusu için; 4 özel ders bulunmaktadır. 10.Sınıf 2.Dereceden Denklemler Ders Notları. Özel Dersler (4) 33:30. DenkleminÇözüm Kümesi. Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler; a, b € R ve a≠0 olmak üzere, "ax + b = 0" cebirsel ifadeleridir. Bu eşitlikte ki "x"e bilinmeyen, a ve b'ye de katsayı denir. a ve b, sabit katsayılardır. Denklemi oluşturan bilinmeyen değerlerine "denklemin kökü", köklerin oluşturduğu kümeye ise BirinciDereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Kavramlar Denklemler çözülürken izlenecek yollar Denklem Çözümleri Kavramlar a, b, c ∈ R olsun, Bir eşitliğin her iki yanına aynı sayı eklenip çıkarılabilir. Bu durumda eşitlik değişmez. a = b ise a+c = b+c ve a – c = b – c olur. Bir eşitliğin her iki yanı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılabilir. TANIMLAR a, b, c Î R ve a ¹ 0 olmak üzere ax2 + bx +c = 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir. Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir. BenimHocam Tüm Adaylar İçin Taktiklerle Çarpanlara Ayırma, 1. Dereceden Denklemler, Oran Orantı Konu Anlatımlı Soru Fasikülü Benim Hocam Yayınları TYT Matematik Konu Benim Hocam Tüm Adaylar İçin Taktiklerle Çarpanlara Ayırma, 1. Dereceden Denklemler, Oran Orantı Konu Anlatımlı Soru Fasikülü Benim Hocam Yayınları Beni Vay Tiền Nhanh. TANIM VE KAVRAMLARa,b,c \\in\ R ve a,b \\neq\ 0 olmak üzere ax + by + c = 0 şeklinde ifade edilebilen denklemlere x ve y değişkenine bağlı birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denklemin birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem olabilmesi için iki değişken içermesi ve değişkenlerin kuvvetinin 1 olması gerekir.► x + 2y = 16 ve y = 3x − 5 denklemleri birinci dereceden iki bilinmeyenli dereceden iki bilinmeyenli denklemleri sağlayan x ve y gerçek sayıları x, y sıralı ikilisi olarak yazılır. Bu sıralı ikililerden her biri denklemin çözüm kümesinin bir x + y = 3 denklemini sağlayan x, y sıralı ikililerini bir değişkene değer vererek diğerinin değeri bulunabilir. Bu örnekte x’e değerler vererek y değerlerini = −10 için y = 13 olur −10, 13x = 0 için y = 3 olur 0, 3x = 12 için y = −9 olur 12, −9şeklinde sonsuz sıralı ikili DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN GRAFİKLERİBirinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin grafikleri koordinat sisteminde bir doğru belirtir. Bu doğru, denklemi sağlayan x, y sıralı ikililerinin temsil ettiği noktalardan GRAFİĞİ NASIL ÇİZİLİR?Bir denklemin grafiğinin çizilebilmesi için bu doğrunun geçtiği en az 2 nokta bulunmalıdır. Bunun için sıralı ikililer elde edilmelidir. Genelde denklemde x’e sıfır değeri verilerek doğrunun y eksenin kestiği nokta, y’ye sıfır verilerek doğrunun x eksenini kestiği noktanın bulunması tercih 2x − 3y = 6 denkleminin grafiğini eksenleri kestiği noktaları buluruz. Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek grafiği , y0−20 , −2303 , 0ÖRNEK y = −2x denkleminin grafiğini doğru orijinden geçer. Geçtiği ikinci noktayı isteğimize göre belirleyebiliriz. Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek grafiği , y000 , 02−42 , −4ÖRNEK y = 4 denkleminin grafiğini x değişkeni bulunmadığı için x’in her değeri için y = 4’tür. İki nokta belirleyip grafiği , y−24−2 , 4343 , 4ÖRNEK 2x + 3 = −5 denkleminin grafiğini x’i yalnız bırakırsak x = −4 elde ederiz, y değişkeni bulunmadığı için y’nin her değeri için x = −4’ , y−43−4 , 3−46−4 , 6 DENKLEM SİSTEMLERİa,b,c,d,e,f \\in\ R ve a,b,c,d \\neq\ 0 olmak üzereax + by + c = 0dx + ey + f = 0denklemlerinden oluşan sisteme x ve y değişkenine bağlı birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Her iki denklemi de sağlayan x, y sıralı ikililerinin kümesine denklem sisteminin çözüm kümesi dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin grafikleri koordinat sisteminde doğru belirttikleri için denklem sisteminin çözüm kümesi bu doğruların kesişim noktalarıdır. Burada karşımıza üç farklı durum çıkar► İki doğru bir noktada kesişebilir.► İki doğru paralel olabilir.► İki doğru çakışık sisteminin çözüm kümesini, denklem sistemindeki denklemlerin katsayılarından KÜMESİ – KATSAYI İLİŞKİSİax + by + c = 0 ve dx + ey + f = 0 denklemlerinden oluşan denklem sisteminin kökleri ve dolayısıyla çözüm kümesi katsayıların a,b,c,d,e,f oranı ile Çözüm Kümesinin Tek Elemanlı Olmasıax + by + c = 0dx + ey + f = 0 denklem sisteminde\\frac{a}{d}\neq\frac{b}{e}\ ise denklem sistemini sağlayan yalnız bir x,y ikilisi bir noktada Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini + 4y = 72x + 5y = 10\\frac{6}{2}\neq\frac{4}{5}\ olduğu için çözüm kümesi bir elemanlıdır, doğrular Çözüm Kümesinin Boş Küme Olmasıax + by + c = 0dx + ey + f = 0 denklem sisteminde\\frac{a}{d}=\frac{b}{e}\neq\frac{c}{f}\ ise denklem sistemini sağlayan x,y ikilisi yoktur. Çözüm kümesi boş kümedir. Ç = \\varnothing\Doğrular paraleldir, Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini − 2y = 83x − 6y = −5\\frac{1}{3}=\frac{-2}{-6}\neq\frac{8}{-5}\ olduğu için çözüm kümesi boş kümedir doğrular paraleldir. Ç = \\varnothing\3 Çözüm Kümesinin Sonsuz Elemanlı Olmasıax + by + c = 0dx + ey + f = 0 denklem sisteminde\\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}\ ise denklem sistemini sağlayan sonsuz x,y ikilisi Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini − 2y = 5−3x + 6y = −15\\frac{1}{-3}=\frac{-2}{6}=\frac{5}{-15}\ olduğu için çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır, doğrular SİSTEMİ ÇÖZÜMÜDenklem sistemlerinin çözüm kümesini bulmak için yerine koyma, yok etme ya da grafik çizme yöntemi Yerine Koyma Denklem sistemindeki denklemlerden herhangi birinde, değişkenlerden herhangi biri eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılarak diğeri cinsinden eşiti Yalnız bıraktığımız değişkenin eşiti diğer denklemde yerine konularak değişkenlerden birinin değeri Diğer değişkenin değeri ise herhangi bir denklemde bulduğumuz değişkenin değerini yerine yazarak elde Aşağıda verilen denklem sistemini yerine koyma yöntemini kullanarak adım adım + y = 32x − y = 0 İlk adım olarak herhangi bir denklemde herhangi bir değişken yalnız bırakılır. Biz 2. denklemde y’yi yalnız bırakmayı tercih ettik ve y = 2x eşitliğini olduğunu − y = 0y = 2x2. adım olarak diğer denklemde y yerine 2x yazdık ve x = 1 değerini elde + y = 3x + 2x = 33x = 3x = 1Son adımda herhangi bir denklemde x yerine 1 yazılır. Biz y = 2x denkleminde x yerine 1 koyarak y = 2 değerini = 2xy = = 2Ç = { 1, 2 }Çözüm kümesi boş küme grafikleri paralel olan denklemlerden oluşan denklem sistemleri yerine koyma yöntemiyle çözüldüğünde 0 = 5 gibi yanlış eşitlikler elde edilir, değişken değeri şekilde çözüm kümesi sonsuz elemanlı grafikleri çakışık olan denklemlerden oluşan denklem sistemleri yerine koyma yöntemiyle çözüldüğünde 0 = 0 gibi doğru eşitlikler elde edilir, değişken değeri Yok Etme Denklem sisteminde herhangi bir değişkenin katsayıları denklemi genişletme veya sadeleştirme yöntemi ile birbirinin toplama işlemine göre tersi ters işaretlisi olacak hale Denklemler taraf tarafa toplanarak bu değişken yok edilir olur ve bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Bu denklem çözülerek değişkenlerden birinin değeri Bulunan değer verilen denklemlerden herhangi birinde yerine konularak diğer değişkenin değeri Aşağıdaki denklem sistemini yok etme yöntemini kullanarak adım adım + y = 53x − 2y = −3İlk adım olarak yok edeceğimiz değişkeni seçmemiz gerekir. Biz y’i yok etmeyi tercih ettik ve üstteki denklemi 2 ile genişlettik. Sonuç olarak denklemlerde y’nin katsayıları 2 ve −2 + y = 5 / .23x − 2y = −34x + 2y = 103x − 2y = −32. adım olarak iki denklemi tarafa tarafa toplarız ve bir bilinmeyenli denklem elde ederiz. Bu denklemde değişkenin değerini x = 1 + 2y = 103x − 2y = −37x = 7x = 1Son olarak herhangi bir denklemde x yerine 1 yazarız ve y’yi buluruz. Biz ilk denklemde x’i yerine yazmayı tercih ettik ve y = 3 + y = + y = 5y = 3Ç = { 1, 3 }Çözüm kümesi boş küme grafikleri paralel olan denklemlerden oluşan denklem sistemleri yok etme yöntemiyle çözüldüğünde 0 = 5 gibi yanlış eşitlikler elde edilir, değişken değeri şekilde çözüm kümesi sonsuz elemanlı grafikleri çakışık olan denklemlerden oluşan denklem sistemleri yok etme yöntemiyle çözüldüğünde 0 = 0 gibi doğru eşitlikler elde edilir, değişken değeri Grafik Çizerek YorumlamaDenklem sisteminin çözümü, denklem sistemini oluşturan denklemlerin grafiklerinin kesişim noktasının Aşağıdaki denklem sistemini denklemlerin grafikleri yardımıyla + y = 12x + y = −2x + y = 1 denklemindex = 0 için y = 1 olur 0 , 1y = 0 için x = 1 olur 1, 02x + y = −2 denklemindex = 0 için y = −2 olur 0 , −2y = 0 için x = −1 olur −1, 0Bu noktaları kullanarak denklemlerin grafiği çizilir. Doğruların kesiştiği −3,4 noktası denklem sisteminin kümesi boş küme olan denklemlerden oluşan denklem sistemlerinin grafikleri çizildiğinde doğruların paralel oldukları şekilde çözüm kümesi sonsuz elemanlı olan denklemlerden oluşan denklem sistemlerinin grafikleri çizildiğinde doğruların çakışık olduğu görülür. TANIM VE KAVRAMLARa,b \\in\ R ve a \\neq\ 0 olmak üzere ax + b = 0 şeklinde ifade edilebilen denklemlere x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler derecesi, değişkenin kuvvetine bağlıdır.► 6x + 3 = 5 ve \\frac{2x}{3}\ − 12 = 30 denklemleri birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir.► x2 = 16 ve \\sqrt{x}\ + 1 = 9 denklemleri birinci dereceden denklem denklemde değişkenin x denklemi sağlayan değerini bulmaya denklem çözmek x denklemi sağlayan değerine denklemin kökü köklerinden oluşan kümeye çözüm kümesi adı verilir ve genelde Ç harfi ile kavramları basit bir örnek üzerinde x + 2 = 5 denklemini sağlayan tek bir x değeri vardır ve bu değer 3’ çözmex = 5 − 2x = 3Denklemin kökü 3Çözüm kümesi Ç = { 3 }DENKLEMLER NASIL ÇÖZÜLÜR?Denklem çözerken amacımız değişkeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır. Bunun için değişken içeren terimleri eşitliğin bir tarafında, sabit değişken içermeyen terimleri eşitliğin diğer tarafında toplamaktır. Bunu yaparken eşitliğin bozulmaması, korunması gerekmektedir. Aşağıdaki işlemleri yaparsak eşitlik korunmuş çözerken► Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir.► Eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkartılabilir.► Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir.► Eşitliğin her iki tarafı aynı sayıya işlemleri daha pratik yapmak için► + işaretli terimler eşitliğin diğer tarafına − işaretli olarak geçer.► − işaretli terimler eşitliğin diğer tarafına + işaretli olarak geçer.► Çarpım durumundaki katsayı eşitliğin diğer tarafına bölüm olarak geçer.► Bölüm durumundaki katsayı eşitliğin diğer tarafına çarpım olarak 3x − 3 = x + 5 denklemini eşitliğin bir tarafına, diğer sayıları diğer tarafa − x = 5 + 3 −3 sağa +3 olarak geçer, x sola −x olarak geçer.2x = 8 x’in başındaki 2 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.x = \\frac{8}{2}\x = 4ÖRNEK 23x − 5 = 8 − 3x + 4 denklemini − 10 = 8 − 3x − 12 Parantez önlerindeki 2 ve −3 parantezlere dağıtılır.6x + 3x = 8 − 12 + 10 −3x sola +3x olarak, −10 sağa +10 olarak geçer.9x = 6 x’in başındaki 9 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.x = \\frac{6}{9}\Rasyonel katsayılı denklemleri çözerken kesirlerde yapılan bazı işlemler kullanılır Payda eşitleme, Genişletme, Sadeleştirme. Ayrıca bazı durumlarda içler dışlar çarpımı da \\frac{x+14}{2x}\ = 4 denklemini çözelim.\\frac{x+14}{2x}\ = 4 İçler-dışlar çarpımı yaparız.x + 14 = 8x14 = 8x − x14 = 7x2 = xÖRNEK \\frac x2+\frac x3=5\ denkleminin kökünü bulalım.\\frac{3x}6+\frac{2x}6=5\ Paydaları eşitleyip toplama işlemini yaparız.\\frac{5x}6=5\ İçler-dışlar çarpımı yaparız.5x = 30x = 6ÖRNEK \\frac{4x-10}{x-5}=\frac{10}{x-5}-\frac65\ denkleminin çözüm kümesini bulalım.\\frac{4x-10}{x-5}-\frac{10}{x-5}=-\frac65\ Değişkenli terimleri eşitliğin sol tarafına alırız.\\frac{4x-20}{x-5}=\frac{-6}5\ İçler-dışlar çarpımı yaparız.20x − 100 = −6x + 3020x + 6x = 30 + 10026x = 130x = 5x’in değerini 5 bulduk ancak bulduğumuz değer denklemi sağlamaz çünkü denklemde x yerine 5 yaptığımızda payda 0 oluyor. Bu nedenle x = 5 değeri için denklemin çözümü olamaz. O zaman bu denklemin çözüm kümesi boş çözümünde bulunan değer paydayı sıfır yapıyorsa bu değer denklemin kökü olarak kabul edilmez ve çözüm kümesine dahil KÜMESİ – KATSAYI İLİŞKİSİax + b = 0 denkleminin kökleri ve dolayısıyla çözüm kümesi katsayılar a ve b ile Denklemin Tek Çözümü Kökü Olmasıax + b = 0 denkleminde a \\neq\ 0 ise denklemi sağlayan yalnız bir x değeri vardır ve bu değer \-\frac{b}{a}\ \\neq\ 0 ise Ç = {\-\frac{b}{a}\}ÖRNEK 7x − 4 = 5x + 8 denklemini − 5x = 8 + 42x = 12x = 6Denklemde x yerine 6 yazılırsa eşitlik sağlanır. Ç = {6}2 Denklemin Çözümü Kökü Olmamasıax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b \\neq\ 0 ise denklemi sağlayan x değeri yoktur ve çözüm kümesi boş = 0 ve b \\neq\ 0 ise Ç = \\varnothing\ÖRNEK 2x − 3 = 2.x + 1 denklemini − 3 = 2x + 22x − 2x = 2 + 30 = 5Denklemde x yerine hangi gerçek sayı verilirse verilsin eşitlik sağlanmaz. Ç = \\varnothing\3 Denklemin Sonsuz Çözümü Kökü Olmasıax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b = 0 ise tüm gerçek sayılar denklemi sağlar ve çözüm kümesi gerçek sayılar = 0 ve b = 0 ise Ç = RÖRNEK 3.x − 2 = −6 + 3x denklemini − 6 = −6 + 3x3x − 3x = −6 + 60 = 0Denklemde x yerine hangi gerçek sayı verilirse verilsin eşitlik sağlanır. Ç = R Merhaba arkadaşlar size bu yazımızda Matematik Konuları hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak bilgi sahibi olabilirsiniz. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler konusu ile ilgili bütün soruların cevabı sizleri bekliyor… Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Kavramlar Denklemler çözülürken izlenecek yollar Denklem Çözümleri Kavramlar a, b, c ∈ R olsun, Bir eşitliğin her iki yanına aynı sayı eklenip çıkarılabilir. Bu durumda eşitlik değişmez. a = b ise a+c = b+c ve a – c = b – c olur. Bir eşitliğin her iki yanı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılabilir. Bu durumda eşitlik değişmez. a=b ise = olur. a ve b gerçek sayı ve a sıfırdan farklı olmak üzere ax+b=0 ifadesine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x değerine denklemin kökü ve ve bu değerlerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir. x – 2 = 3 denklemini sağlayan tek bir x değeri vardır ve bu değer 5’tür. Çözüm x = 3 + 2 x = 5 Denklemin kökü 5 Çözüm kümesi Ç = { 5 } Denklemler Çözülürken İzlenecek Yollar Denklem Çözümleri Örnek 3x − 5 = x + 5 denklemini çözelim. Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, diğer sayıları diğer tarafa toplarız. 3x − x = 5 + 5 −5 sağa +3 olarak geçer, x sola −x olarak geçer. 2x = 10 x’in başındaki 2 katsayısını karşıya bölü olarak geçer. x = x = 5 Örnek 23x − 5 = 8 − 3x + 4 denklemini çözelim. 6x − 10 = 8 − 3x − 12 Parantez önlerindeki 2 ve −3 parantezlere dağıtılır. 6x + 3x = 8 − 12 + 10 −3x sola +3x olarak, −10 sağa +10 olarak geçer. 9x = 6 x’in başındaki 9 katsayısını karşıya bölü olarak geçer. x = 9. Sınıf Matematik Konuları için Tıklayınız 9. Sınıfta Yer Alan Diğer Ders ve Konuları için Tıklayınız Merhaba arkadaşlar size bu yazımızda Matematik Konuları hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak bilgi sahibi olabilirsiniz. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler konusu ile ilgili bütün soruların cevabı sizleri bekliyor… Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler Kavramlar Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemlerin Grafikleri Denklem Sistemi Çözümü Çözüm Kümesi – Katsayı İlişkisi Kavramlar a, b ve c sabit gerçek sayılar, a ve b sıfırdan farklı olmak üzere, x ve y değişkenleri için ax + by = c şeklinde yazılan ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Değişkenleri birinci dereceden ve aynı olan birden fazla denklem grubuna ise birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Bir denklem sisteminin çözüm kümesi, bu iki denklemi aynı anda sağlayan x, y sıralı ikilileridir. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemlerin Grafikleri Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin grafikleri koordinat sisteminde bir doğru belirtir. Bu doğru, denklemi sağlayan x, y sıralı ikililerinin temsil ettiği noktalardan geçer. Örnek 5x − 4y = 8 denkleminin grafiğini çizelim. Doğrunun eksenleri kestiği noktaları buluruz. Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek grafiği çizeriz. x y x , y 0 −4 0 , −4 5 0 5 , 0 Örnek y = −2x denkleminin grafiğini çizelim. Bu doğru orijinden geçer. Geçtiği ikinci noktayı isteğimize göre belirleyebiliriz. Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek grafiği çizeriz. x y x , y 0 0 0 , 0 2 −4 2 , −4 Denklem Sistemi Çözümü Bir denklem sisteminin çözüm kümesini sıralı ikilileri tek tek yerine koyarak belirlemek her zaman mümkün olmayabilir. Denklem sistemlerinin çözümlerini bulmak için yerine koyma, yok etme, grafik çizme gibi matematiksel yöntemler kullanılır. Yerine Koyma Yöntemi ax + by = c dx + ey = f denklem sisteminin yerine koyma yöntemi ile çözümünde; birinci ya da ikinci denklemde x ya da y değişkeni yalnız bırakılarak, elde edilen ifade diğer denklemde yerine yazılır. Yerine Koyma Yöntemiyle denklem sistemini çözerken genellikle katsayısı 1 olan değişken diğer değişken türünden ifade edilir. Yok Etme Yöntemi ax + by = c dx + ey = f denklem sisteminin yok etme yönteminde her iki denklem taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden birisi yok edilir. Verilen denklem sisteminde taraf tarafa toplama işlemi ile bilinmeyenlerden birisi yok olmuyorsa, çarpma işlemi ile bilinmeyenlerden birisinin katsayıları eşit ve zıt işaretli olacak şekilde düzenlenir. Çözüm Kümesi – Katsayı İlişkisi 9. Sınıf Matematik Konuları için Tıklayınız 9. Sınıfta Yer Alan Diğer Ders ve Konuları için Tıklayınız

1 derece denklemler konu anlatımı